Épluchez les carottes, les oignons et les pommes de terre, coupez les champignons et épongez la viande avec du papier absorbant. Mélangez les cubes de bœuf dans un saladier avec la moitié de la farine, le sel et du poivre, jusqu'à ce que chaque cube soit enrobé d'une fine pellicule.

Chauffez 2 c. à soupe d'huile dans une cocotte de 26 cm à feu moyen-vif. Saisissez la viande en 2 ou 3 fournées, sans entasser, 6 à 8 minutes par fournée en retournant les cubes, jusqu'à obtenir une croûte brun foncé sur toutes les faces. Réservez la viande dans un plat.

Versez la dernière cuillère d'huile dans la même cocotte à feu moyen, puis ajoutez les oignons, les carottes, les champignons et les herbes de Provence. Faites revenir 5 à 6 minutes en remuant, jusqu'à ce que les champignons rendent leur eau et que les oignons deviennent translucides.

Versez le vinaigre balsamique et grattez le fond de la cocotte avec une cuillère en bois pendant 30 secondes, jusqu'à ce que les sucs bruns soient décollés et que l'odeur piquante du vinaigre se soit évaporée.

Remettez la viande et son jus dans la cocotte, émiettez les cubes de bouillon par-dessus et versez l'eau. Mélangez et portez à frémissement, puis baissez à feu très doux : quelques bulles seulement remontent à la surface. Couvrez et laissez mijoter 1 heure.

Ajoutez les pommes de terre, remuez doucement, couvrez et poursuivez le mijotage 45 minutes. La pointe d'un couteau doit traverser sans résistance un cube de bœuf comme une pomme de terre ; sinon, prolongez de 15 minutes.

Malaxez le beurre mou avec le reste de la farine dans un petit bol, jusqu'à obtenir une pâte lisse.

Incorporez le beurre manié en 4 ou 5 morceaux dans la sauce frémissante, en remuant doucement entre chaque ajout. Laissez frémir 4 à 5 minutes, jusqu'à ce que la sauce nappe le dos d'une cuillère et ne goûte plus la farine crue.

Ajoutez les petits pois surgelés et poursuivez la cuisson 3 à 4 minutes, jusqu'à ce qu'ils soient chauds et d'un vert vif.

Goûtez et rectifiez en sel et en poivre, puis laissez reposer 10 minutes à couvert, hors du feu, avant de servir dans des assiettes creuses chaudes.